Diagonalization and Rationalization of Algebraic Laurent Series

— We prove a quantitative version of a result of Furstenberg [20] and Deligne [13] stating that the the diagonal of a multivariate algebraic power series with coefficients in a field of positive characteristic is algebraic. As a consequence, we obtain that for every prime p the reduction modulo p of the diagonal of a multivariate algebraic power series f with integer coefficients is an algebraic power series of degree at most p and height at most Ap, where A is an effective constant that only depends on the number of variables, the degree of f and the height of f . This answers a question raised by Deligne [13]. Résumé. — Nous démontrons une version quantitative d’un résultat de Furstenberg [20] et Deligne [13] : la diagonale d’une série formelle algébrique de plusieurs variables à coefficients dans un corps de caractéristique non nulle est une série formelle algébrique d’une variable. Comme conséquence, nous obtenons que, pour tout nombre premier p, la réduction modulo p de la diagonale d’une série formelle algébrique de plusieurs variables f à coefficients entiers est une série formelle algébrique de degré au plus p et de hauteur au plus Ap, où A est une constante effective ne dépendant que du nombre de variables, du degré de f et de la hauteur de f . Cela répond à une question soulevée par Deligne [13].